很多人對角速度的方向感到困惑，物體實際上不是在一個平面內運動嗎？ 可為什么角速度的方向卻是垂直于該平面呢？
類似的還有力矩，如下圖，你明明是握著把手使勁擰的，你的力是在豎直平面內的使的，可為什么由此導致的力矩——其方向卻被定義為水平的呢？
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另外，第一次學矢量叉乘的人也會感到困惑，明明兩個都在一個平面內，為什么乘積卻在垂直方向？
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很多人 對此類問題 都有一種 說不清的 （俗稱 莫 名其妙 ）的感覺， 感覺物理學太反直覺、太不講道理了！ 怎 么能這樣胡亂定義呢？
而面對同學們的這種疑問，絕大多數老師卻只能一本正經地教導曰：“這是定義，聰明的物理學家們一致同意這樣定義，不要問為什么！”
這樣一來，學生 只能帶著不爽和半信半疑繼續學下去，時不時懷疑自己的理解力，覺得物理學太玄了，自己學不會。
然而，我要說的是，所有為此感到困惑的同學，你們都是正常的，而那些沒覺察到任何問題的人，相反很可能是不求甚解不懂裝懂！
因為，只有具有正常——甚至超常理解力的人，才能意識到這樣的困惑，這種困惑恰恰是他敏銳的物理直覺所必然導致的。
什么叫物理直覺？
對普通人來講，就是根深蒂固地存在于自己的大腦，但自己卻意識不到的一種洞察力，是人們對大自然的長期觀察中所獲取的基本經驗和認知。
那么，在角速度的方向這個問題上的困惑，是由哪方面的物理直覺呢所觸發的呢？諸君且聽偶慢慢道來。
我們都有這樣的經驗——
湖面平靜如鏡，說明此時湖面上空沒有風； 一起上 課的 兩個 同專業 的平行 班 ， 平均分差10 多分，這是很難理解的； 在打臺球時，只要你確保沿 水 平方向 擊 球 ，球絕對不會豎直跳起來 ； 養魚場 的若干 大小一樣的 魚塘 ，只要平衡 養殖 ，各個魚塘的 產量應該差不多......
上面這些事，背后的直覺都源于同一個規律，它就是因果關系（ causal relationship）。
什么是因果關系呢？
簡單的說就是，相同的原因導致相同的結果。
例如，有人通過實驗制備了某種化合物，那么可以肯定，只要保證下次的實驗條件完全一樣，那一定也會得到同樣的化合物。 再例如， 一 個函 數，只要 所有 的 自變量取與上次一樣的 值 ，則 函 數值 必定也是一樣的。
實際中，若系統 具有對稱性，進行相應的對稱操作后，系統與原來不可分辨，即等價。 例如球體具有繞球心的旋轉對稱性，所以繞球心旋轉任意角度保持等價。 電路的等值電阻具有置換對稱性，所以交換位置后，電路保持等價。
基于這種理解，“相同 ”可用 “等價 ”代替，而“等價”其實就是“對稱”，故因 果關系又可說成： 對稱的原因導致對稱的結果。
因果關系的這種表述也被稱作對稱性原理（symmetry principle），它是物理學中的一條基本原理，是居里夫人的丈夫、法國物理學家皮埃爾·居里（Pierre Curie，1859~1906）于1894年提出的。
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詳細點說，對稱性原理包含三點意思： ①原因中具有什么對稱性 ，則結果必定也具有這些對稱性； ②可能 有時候，原因中沒有某種對稱性，但結果中卻含有某種對稱性； ③ 如果結果具有某種不對稱性，則原因中必然存在相應的不對稱性。
上面的3點意思可濃縮成兩句話： ①結果中至少包含原因中的那些對稱性； ②結果中的不對稱性必定存在于原因中。
例如，均勻帶電球殼的電場必然是以球心為中心的輻射狀，因為電荷具有球對稱性，所以電場也具有球對稱性。 若某處電場方向偏離徑向，則球體必然在某處存在缺陷。
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理解了對稱性原理，我們再回頭看角速度。
看上圖，物體始終在一個平面內運動，該平面（也叫轉動平面）是系統的對稱面。 根據對稱性原理，系統所有的物理量，應關于轉動平面對稱。 因此，任何矢量不可能有垂直于轉動平面的分量。
這說明，角速度若真是矢量的話，它不能有垂直于轉動平面的分量，否則就破壞了對稱性原理！ 但是，角速度的方向卻偏偏被定義為垂直于轉動平面的方向！ 怎么辦？
要 保證對稱性原理不受影響，解決方案只能是：將角速度約定為矢量之外的某種東西。 換句話說，角速度不是矢量！ 同樣的道理， 力矩也不是矢量！
慢點慢點，可是教材上不是說它們都是矢量嗎？ 這又是怎么回事呢？
這其實是一個誤會！ 且看下文的解釋。
根據本文開頭的講解，角速度這類量描述的是一個平面內的事情，用順時針或逆時針來描述足矣，根本扯不上矢量，真正的物理學家當然知道這一點。
但同時，物理學家又發現，根據右手螺旋法則，順時針和逆時針可分別與垂直于轉動平面的兩個法向形成確定的對應關系。 這樣一來，就可把這類量定義為一種特殊的量，它們也有方向——按照右手螺旋法則來確定。
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有了方向之后有啥好處呢？ 有了方向，它就和速度、力和電場強度這類矢量一樣，服從相同的加法、減法、點乘和叉乘運算規則了。
那么，該如何稱呼這種特殊的量呢？
既然它們不是矢量，但又類似矢量，那不如將它們歸為一種“假的矢量”，即贗矢量（Pseudovector）。顧名思義，在物理學家心中，贗矢量不是矢量。
但由于贗矢量具有與矢量一樣的數學運算規則，故在數學家的眼里，它就是矢量，于是物理學家有時也省掉“贗”字，直呼其為矢量了。
于是誤會就這么產生了！
但嚴格的講，贗矢量不是矢量，因為它的方向是額外強加的。
例如磁感應強度 就是一個贗矢量，平時大家看到的磁場的示意圖，那個方向（如下圖中的紅色箭頭）其實是也硬加上去的。
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如下圖所示，空間關于電流環左右對稱，任何矢量若有垂直于電流環平面的分量，對稱性原理就被破壞了！所以 磁場自己 也 很冤——俺可不敢對抗對稱性原理啊，俺不是矢量， 這個 方向是人類強加給我的，與俺無關！
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對于電場強度，就沒有這個問題了。 如圖所示，一個無限大帶電平面，因為兩邊的電場是關于平面對稱的，符合對稱性原理，故電場強度是矢量。
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但 問題似乎還是存在，因為贗矢量有 方向，所以還是破壞了對稱性！ 怎么辦呢？
不不不！ 這個方向是人為額外加的 ， 并不是 系統 本來就有的，所以不存在破壞 對稱性原理的問題。
如果你還覺得不夠踏實，物理學家和數學家給了一套完美自洽的解決方案——為贗矢量約定了與矢量不同的鏡面反射規則。
矢量的鏡面反演規則為：垂直于鏡面的分量，反演時方向反向，而平行于鏡面的分量，反演時方向不變，如下圖左半部所示。而贗矢量的鏡面反演規則為： 垂 直于鏡面的分量，反演時方向不變，而平行于鏡面的分量，反演時方向反向，如下圖右半部所示。
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這樣一來，就好辦了，碰到既有矢量又有贗矢量時，只要按照各自的反演規則處理就行了。 你會發現，只要這樣做，對稱性原理就不會有任何問題了！
例如，如下圖所示電流環的磁場，線圈兩邊的磁場同向，看起來好像破壞了左右對稱？
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但實際上，由于磁場是贗矢量，對垂直環面的磁場來說，其鏡像本來就應該同向，沒有破壞對稱性！
現在磁場總算可以安心了——偶現在與對稱性原理高度一致啦！
到此，我們了解了贗矢量的本質——
它本來就不是矢量，它描述的是一個平面內的事 。但為了數學上的方便，人們給它強加了一個方向——沿平面的垂直軸。正因為這個原因，贗矢量也稱軸矢量（axial vector）。
現在剩下最后一個問題： 為什么矢量叉乘得到的量，其方向與兩個矢量所在平面垂直呢？
原因很簡單，因為它本身也是贗矢量！實際上，凡是由兩個矢量的叉乘得到的量，它必然是一個贗矢量。
根據對稱性原理，既然叉乘的兩個矢量在一個平面內，該平面是系統的對稱面，而叉乘后得到的量的方向卻垂直于該平面，如果它是矢量的話，它就破壞了對稱性原理，故它必須是贗矢量。
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同樣的道理，矢量與贗矢量叉乘，得到的必須是矢量，否則破壞了對稱性原理。例如安培力，它的表達式為
雖然磁感應強度是贗矢量，但它與矢量 叉乘得到的力必定是矢量。
如下圖所示，電流和磁場構成的系統看起來是左右對稱的，而安培力卻向左，這好像破壞了對稱性原理？
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因為 是贗矢量，它通過豎直面的鏡像應該是反向的，所以電流所在的豎直面不是對稱面，故系統本來就沒有關于豎直面對稱，因此安培力并沒有破壞對稱性。
更一般地，某個量，若由奇數個矢量叉乘得到，它就是矢量，而若由偶數個矢量叉乘得到，它就是贗矢量。
可見，如果不引入贗矢量，連叉乘這件事，在物理上與對稱性原理無法達成一致！而現在好了，借助贗矢量這個美妙的發明，數學運算和物理原理和諧一致，構成了一個完美自洽的理論體系。
來源：物含妙理
編輯：涼漸
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